cho a, b, c, d là các số thực thoả mãn: \(b+d\ne0\)và \(\frac{ac}{b+d}\ge2\). chứng minh rằng phương trình \(\left(x^2+ax+b\right)\left(x^2+cx+d\right)=0\) (x là ẩn) luôn có nghiệm
Cho a,b và c là các số thực thỏa mãn \(b+d\ne0\)và \(\frac{ac}{b+d}\ge2\).
CMR: Phương trình \(\left(x^2+ax+b\right)\left(x^2+cx+d\right)=0\)(x là ẩn) luôn có nghiệm.
Gọi \(a,b,c,d\) là các số thực thỏa mãn: \(b+d\ne0\) và \(\frac{ac}{b+d}\ge2\)
Chứng minh phương trình \(\left(x^2+ax+b\right)\left(x^2+cx+d\right)=0\) (x là ẩn) luôn có nghiệm
Xét hai pt: \(x^2+ax+b=0\) có \(\Delta_1=a^2-4b\)
\(x^2+cx+d=0\) có \(\Delta_2=c^2-4d\)
Ta có:
\(\Delta_1+\Delta_2=a^2+c^2-4\left(b+d\right)\)
TH1: nếu \(b+d< 0\Rightarrow-4\left(b+d\right)>0\)
\(\Rightarrow\Delta_1+\Delta_2=a^2+c^2-4\left(b+d\right)>0\)
\(\Rightarrow\) Tồn tại ít nhất 1 trong 2 giá trị \(\Delta_1;\Delta_2\) dương hay ít nhất 1 trong 2 pt có nghiệm \(\Rightarrow\) pt đã cho có nghiệm
TH1: \(b+d>0\Rightarrow ac\ge2\left(b+d\right)\Rightarrow-4\left(b+d\right)\ge-2ac\)
\(\Rightarrow\Delta_1+\Delta_2\ge a^2+c^2-2ac=\left(a-c\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\) tồn tại ít nhất 1 trong 2 giá trị \(\Delta_1;\Delta_2\) không âm hay ít nhất 1 trong 2 pt có nghiệm
Vậy pt đã cho luôn có nghiệm
Chứng minh phương trình bậc ba có dạng: \(ax^3+bx^2+cx+d=0\left(a\ne0\right)\) luôn có nghiệm ∀a,b,c,d thỏa mãn.
Đặt \(f\left(x\right)=ax^{3\:}+bx^2+cx+d\left(a\ne0\right)\)
Nếu \(a< 0\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=+\infty\\\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=-\infty\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(-\infty;+\infty\right)\), với \(x\in\left(-\infty;+\infty\right)\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) luôn có nghiệm
Nếu \(a>0\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=-\infty\\\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) luôn có nghiệm
Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn: \(a^2+b^2< 1\). Chứng minh rằng phương trình sau luôn có hai nghiệm:
\(\left(a^2+b^2-1\right)x^2-2\left(ac+bd-1\right)x+c^2+d^2-1=0\)
Cho a,b,c là các số thực và \(a\ne0\). Chứng minh rằng nếu đa thức \(f\left(x\right)=a\left(ax^2+bx+c\right)^2+b\left(ax^2+bx+c\right)+c\) vô nghiệm thì phương trình \(g\left(x\right)=ax^2+bx-c\) có hai nghiệm trái dấu
Với \(c=0\Rightarrow f\left(x\right)=0\) có nghiệm \(x=0\) (loại)
TH1: \(a;c\) trái dấu
Xét pt \(f\left(x\right)=0\Leftrightarrow a\left(ax^2+bx+c\right)^2+b\left(ax^2+bx+c\right)+c=0\)
Đặt \(ax^2+bx+c=t\) \(\Rightarrow at^2+bt+c=0\) (1)
Do a; c trái dấu \(\Leftrightarrow\) (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu.
Không mất tính tổng quát, giả sử \(t_1< 0< t_2\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}ax^2+bx+c=t_1\\ax^2+bx+c=t_2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}ax^2+bx+c-t_1=0\left(2\right)\\ax^2+bx+c-t_2=0\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Mà a; c trái dấu nên:
- Nếu \(a>0\Rightarrow c< 0\Rightarrow c-t_2< 0\Rightarrow a\left(c-t_2\right)< 0\)
\(\Rightarrow\) (3) có nghiệm hay \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm (loại)
- Nếu \(a< 0\Rightarrow c>0\Rightarrow c-t_1>0\Rightarrow a\left(c-t_1\right)< 0\)
\(\Rightarrow\left(2\right)\) có nghiệm hay \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm (loại)
Vậy đa thức \(f\left(x\right)\) luôn có nghiệm khi a; c trái dấu
\(\Rightarrow\)Để \(f\left(x\right)=0\) vô nghiệm thì điều kiện cần là \(a;c\) cùng dấu \(\Leftrightarrow ac>0\)
Khi đó xét \(g\left(x\right)=0\) có \(a.\left(-c\right)< 0\Rightarrow g\left(x\right)=0\) luôn có 2 nghiệm trái dấu (đpcm)
cho phương trình \(\frac{1}{2}x^2-\left(k-\frac{1}{2}\right)x+k-1=0\)(x là ẩn, k là tham số có giá trị thực)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm
b) Gọi x1,x2 là các nghiệm của phương trình trên, khi đó
b) là gì vậy bạn , viết nốt đi rồi mình làm cho
Cho các số thực a,b,c,d thỏa mãn \(a^2+b^2< 1\). CMR: phương trình \(\left(a^2+b^2-1\right)x^2-2\left(ac+bd-1\right)x+c^2+d^2-1=0\) luôn có 2 nghiệm.
Cho đa thức \(f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d\) (a,b,c,d là các số nguyên) . Biết 7a+b+c = 0 . Chứng minh rằng f(3) . f(-2) là số chính phương
1. Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn: \(b+d\ne0\) và \(\frac{ac}{b+d}\ge2\).
Chứng minh rằng phương trình \(\left(x^2+ax+\right)\left(x^2+cx+d\right)=0\) (x là ẩn)
luôn có nghiệm.
2.\(\sqrt{5x^2+14x+9}-\sqrt{x^2-x-20}=5\sqrt{x+1}\)